(三)、运动球体抛射的力物质或反力物质在空间一个已知球体表面的特征参数面密度变换
设:空间存在 A 、 B 两个球体,半径分别为 ra 、 rb , A 球体表面的特征参数面密度分别为δ a0 ,运动速度为 Ba , t=t0 时 A 、 B 球体的球心位置分别为 Oa 、 Ob , OaOb 的长度为 R , A 球体的运动方向与 OaOb 连线的顺时针方向角为θ a
求解 A 球体抛射的力物质或反力物质在 B 球体表面 Q1 点的特征参数面密度及运动方向角,已知参数为 ra 、 rb 、 Ba 、θ a 、 R
以 A 球体的运动方向和 OaOb 的连线作平面 S ,在 S 平面内分别以 Oa 、 Ob 为原点建立 A 、 B 两个右手独立坐标系,两个坐标系的 x 轴方向同为 A 球体的运动方向。
A 球体表面上任意点的直角坐标表达为 (xa,ya,za) ,球面坐标表达为 (ra, Ψ a, Φ a) ,有:
xa=ra*sin Φ a*cos Ψ a
ya=ra*sin Φ a*sin Ψ a
za=ra*cos Φ a
ra=(xa2+ya2+za2)1/2
Ψ a=arctg(ya/xa)
Φ a=arctg[(xa2+ya2)1/2 /za]
.......................(2-3-11)
B 球体表面上任意点的直角坐标表达为 (xb,yb,zb) ,球面坐标表达为 (rb, Ψ b, Φ b)
xb=rb*sin Φ b*cos Ψ b
yb=rb*sin Φ b*sin Ψ b
zb=rb*cos Φ b
rb=(xb2+yb2+zb2 )1/2
Ψ b=arctg(yb/xb)
Φ b=arctg[(xb2+yb2)1/2 /zb]
.......................(2-3-12)
两个坐标系中的参数进行变换,设: xbybzb 坐标系的原点在 xayaza 坐标系中的坐标为: (xa0,ya0,za0),B 球体在 xayaza 坐标系中的坐标表达为: (xb1,yb1,zb1) ,有:
xb1=xa0+xb
yb1=ya0+yb
zb1=za0+za
=za
........................(2-3-13)
同一条空间直线在 A 坐标系中的方向角与 B 坐标系中的方向角相同,设:空间直线 L1 在 A 坐标系中的方向角为γ x(a), γ y(a), γ z(a), 在 B 坐标系中的方向角为γ x(b), γ y(b), γ z(b), 有:
γ x(a)= γ x(b)
γ y(a)= γ y(b)
γ z(a)= γ z(b)
.........................(2-3-14)
在 B 球体表面取任意点 Q1 ,通过 Q1 、 Oa 点和 xa 轴取平面 S1 ,在 S1 平面内, Q1 点与 Oa 点间的距离为 R1 , Q1 、 xa 轴与 Oa 点连线的顺时针方向角为θ ab , A 球体抛射的力物质或反力物质到达 Q1 点时在 S1 平面内的方向角为λ,到达 Q1 点时的特征参数面密度为δ a
参照( 2-3-9 )、( 2-3-10 )式,有:
δ a= Ξ 0/(4* π *R12*B0)/cos( α i- α 1i)*(1+Ba/B0+2*Ba/B0*cos α i)1/2*sin2α i/sin2θ ab
[Ba/B0*sin θ ab-sin( θ ab- α 1i)]/sin α 1i+ra*(cos θ ab-cos α i)/(R1-ra)=0
(Ba/B0-cos α 1i)/sin α 1i+(cos θ ab-ra/R1*cos α i)/(sin θ ab-ra/R1*sin α i)=0
λ = α 1i
.......................(2-3-15)
把 R1 变换成用 R 及 xbybzb 坐标系中 Q1 点参数表达的数学关系式
Q 1 点在 xbybzb 坐标系中的坐标为:
xb(Q1)=rb*sin Φ b*cos Ψ b
yb(Q1)=rb*sin Φ b*sin Ψ b
zb(Q1)=rb*cos Φ b
Ψ b=arctg[yb(Q1)/xb(Q1)]
Φ b=arctg{[xb(Q1)2+yb(Q1)2]1/2/zb(Q1)}
Q 1 点在 xayaza 坐标系中的坐标为:
xa(Q1)=rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ a
ya(Q1)=rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ a
za(Q1)=rb*cos Φ b
Ψ b=arctg[yb(Q1)/xb(Q1)]
Φ b=arctg{[xb(Q1)2+yb(Q1)2]1/2 /zb(Q1)}
.......................(2-3-16)
R1 的数学关系为:
R12=xa(Q1)2+ya(Q1)2 +za(Q1)2
=(rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ a)2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ a)2+(rb*cos Φ b)2
=rb2*sin2Φ b*cos2Ψ b+R2*cos2θ a+rb2*sin2Φ b*sin2Ψ b+R2*sin2θ a+rb2*cos2Φ b+2*rb*sin Φ b*cos Ψ b*R*cos θ a+2*rb*sin Φ b*sin Ψ b*R*sin θ a
=rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a
R1=(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a)1/2
Ψ b=arctg[yb(Q1)/xb(Q1)]
Φ b=arctg{[xb(Q1)2+yb(Q1)2]1/2/zb(Q1)}
........................(2-3-17)
当 R1 作为矢量时, R1 的坐标矢量为: ax,ay,az ; R1 的长度模为: a ;方向余弦为: cos γ x,cos γ y,cos γ z ,数学关系为:
ax=xa(Q1)
ay=ya(Q1)
az=za(Q1)
a=R1
cos γ x/ax=cos γ y/ay=cos γ z/az=1/a
......................(2-3-18)
令: l=cos γ x,m=cos γ y,n=cos γ z ,有:
l=xa(Q1)/R1
m=ya(Q1)/R1
n=za(Q1)/R1
.......................(2-3-19)
求解θ ab
由于θ ab 在Q 1 点与 xayaza 坐标系中的 x 轴组成的平面内,故有:
θ ab= γ x
=arccos(l)
=arccos[xa(Q1)/R1]
........................(2-3-20)
当A球体抛射的力物质或反力物质到达 Q1 点时的特征参数面密度δ a 的方向角为 [ γ x(a), γ y(a), γ z(a)] 时,求解方向角的数学关系
在 S1 平面内,存在一条直线 L2 , L2 直线与 xayaza 坐标系的 x 轴方向角为α 1i , L2 直线与 xayaza 坐标系的 x 轴相交于P点,设: P点与 Q1 点间的距离为 R2 ,有:
R2/sin( π - θ ab)=R1/sin α 1i
R2=R1*sin θ ab/sin α 1i
=(rb2+R2 +2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a)1/2*sin θ ab/sin α 1i
.......................(2-3-21)
P 点的坐标为:
xp=-|POa|
yp=0
zp=0
∵ :|PQa|/sin( θ ab- α 1i)=R2/sin( π - θ ab)
|PQa|=R2*sin( θ ab- α 1i)/sin θ ab
=(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a)1/2*sin θ ab/sin α 1i*sin( θ ab- α 1i)/sin θ ab
=(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a)1/2*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i
∴ :xp=-(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a)1/2*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i
yp=0
zp=0
.....................(2-3-22)
当 R2 作为矢量时, R2 的坐标矢量为: ax,ay,az ; R2 的长度模为: a ;方向余弦为: cos γ x(a),cos γ y(a),cos γ z(a) ,数学关系为:
ax=xa(Q1)-xp
ay=ya(Q1)-yp
=ya(Q1)
az=za(Q1)-zp
=za(Q1)
a=R2
cos γ x(a)/ax=cos γ y(a)/ay=cos γ z(a)/az=1/a
令: l(a)=cos γ x(a),m(a)=cos γ y(a),n(a)=cos γ z(a) ,有:
l(a)=[xa(Q1)-xa(P)]/R2
m(a)=ya(Q1)/R2
n(a)=za(Q1)/R2
.......................(2-3-23)
Q1 点δ a 的方向角为:
γ x(a)=arccos[l(a)]
= α 1i
γ y(a)=arccos[m(a)]
γ z(a)=arccos[n(a)]
.........................(2-3-24)
A 球体抛射的力物质或反力物质在 B 球体表面 Q1 点的特征参数面密度δ a 及方向角 [ γ x(a), γ y(a), γ z(a)] 的数学关系,由 (2-3-15) 、 (2-3-20) 、 (2-3-17) 、 (2-3-21) 、 (2-3-23) 、 (2-3-24) 、 (2-3-16) 知:
δ a= Ξ 0/(4* π *R12*B0)/cos( α i- α 1i)*(1+Ba/B0+2*Ba/B0*cos α i)1/2*sin2α i/sin2θ ab
[Ba/B0*sin θ ab-sin( θ ab- α 1i)]/sin α 1i+ra*(cos θ ab-cos α i)/(R1-ra)=0
(Ba/B0-cos α 1i)/sin α 1i+(R1*cos θ ab-ra*cos α i)/(R1*sin θ ab-ra*sin α i)=0
θ ab=arccos[xa(Q1)/R1]
R1=(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a)1/2
R2=(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ a+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ a)1/2*sin θ ab/sin α 1i
γ x(a)= α 1i
γ y(a)=arccos[ya(Q1)/R2]
γ z(a)=arccos[za(Q1)/R2]
xb(Q1)=rb*sin Φ b*cos Ψ b
yb(Q1)=rb*sin Φ b*sin Ψ b
zb(Q1)=rb*cos Φ b
xa(Q1)=rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ a
ya(Q1)=rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ a
za(Q1)=rb*cos Φ b
Ψ b=arctg[yb(Q1)/xb(Q1)]
Φ b=arctg{[xb(Q1)2+yb(Q1)2]1/2/zb(Q1)}
......................(2-3-25)