(三)、两个球体在一个平面内运动时特征参数流量变化量与加速度的关系
设:平面P内存在两个运动的球体 A 、 B ,直径分别为 ra 、 rb , A 球体以速度 Ba 作直线运动, B 球体作曲线运动,曲线运动的轨迹可进行数学表达; t=tn 时 A 球体在 Oa(tn) 点的位置, B 球体在 Ob(tn) 点的位置, Oa(tn)Ob(tn) 间的距离为 R ,以 A 球体的运动方向为 0 方向 ,Oa(tn)Ob(tn) 连线的顺时针方向角为θ 1 ;在 Ob(tn) 点, B 球体的切线运动速度为 Bb ,切线方向的顺时针方向角为θ 2 ,切线方向与 Oa(tn)Ob(tn) 连线小于π的夹角为θ 3
当 A 球体作直线运动时, B 球体作曲线运动时,可以认为 B 球体绕 A 球体作曲线运动,曲线运动在三维坐标系中分顺时针运动和逆时针运动,但无论是顺时针运动还是逆时针运动,都可以通过坐标变换用顺时针运动表达。
B 球体相对 A 球体作顺时针曲线运动时θ 3 的数学关系:
当 0< θ 1< π, 0 ≤θ 2 ≤π时
θ 3= π -( θ 2- θ 1)
= π - θ 2+ θ 1
.......................(3-2-28)
当θ 1 = 0 , 0 ≤θ 2 ≤π时
θ 3= π - θ 2
-2-29)
当θ 1 =π,π≤θ 2 ≤ 2* π时
θ 3=2* π - θ 2
.......................(3-2-30)
当π < θ 1<2* π,π < θ 2<2* π时
θ 3=2* π - θ 2-(2* π - θ 1)
= π - θ 2+ θ 1
.......................(3-2-31)
由 (3-2-28) 式至 (3-2-31) 式知:
θ 3= π - θ 2+ θ 1
.......................(3-2-32)
以 A 球体的运动方向和 Oa(tn)Ob(tn) 的连线作平面 S ,在 S 平面内分别以 Oa(tn) 、 Ob(tn) 为原点建立 A 、 B 两个右手独立坐标系,两个坐标系的 x 轴方向同为 A 球体的运动方向。在 B 球体表面取点 Q , Q 点在 xayaza 坐标系中的坐标为 (xqa,yqa,zqa),Q 点在 xbybzb 坐标系中的坐标为 (xqb,yqb,zqb)
1 、 A 球体抛射的力物质或反力物质在 t=t0 时到达 B 球体表面 Q 点的特征参数面密度
通过 Q 点和 xayaza 坐标系中的 xa 轴取平面 S1 ,在 S1 平面内, Q 点与 Oa 点间的距离为 R1 , xa 轴与 Q 和 Oa 点连线的顺时针方向角为θ ab , A 球体抛射的力物质或反力物质到达 Q 点时的特征参数面密度为δ a
参照 (2-3-25) 式,有:
δ a= Ξ a0/(4* π *R12*B0)/cos( α i- α 1i)*(1+Ba2/B02+2*Ba/B0*cos α i)1/2*sin2α i/sin2θ ab
[Ba/B0*sin θ ab-sin( θ ab- α 1i)]/sin α 1i+ra*(cos θ ab-cos α i)/(R1-ra)=0
(Ba/B0-cos α 1i)/sin α 1i+(R1*cos θ ab-ra*cos α i)/(R1*sin θ ab-ra*sin α i)=0
θ ab=arccos[xa(Q)/R1]
R1=(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ 1+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ 1)1/2
xa(Q)=rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1
.......................(3-2-33)
2 、 t=ti 时 xa 轴上 Qa 点的坐标
当 t=t0 时 B 球体上的 Q 点为唯一点时,由 A 球体抛射的力物质或反力物质在 t=t0 时到达 B 球体表面的 Q 点时空间方向角也一定是唯一的,并且方向角在 S1 平面内与 xa 轴存在一个唯一的交点,设:该交点为 Qa 点, Qa 点的坐标为 (xaqa,yaqa,zaqa)
求解 Qa 点坐标
yaqa=0
zaqa=0
.......................(3-2-34 )
设: Q 点与 Qa 点的连线与 xa 轴的夹角为α 1i ,参照 (2-3-8) 式,有:
[Ba/B0*sin θ ab-sin( θ ab- α 1i)]/sin α 1i+ra*(cos θ -cos α i)/(R1-ra)=0
(Ba/B0-cos α 1i)/sin α 1i+(R1*cos θ ab-ra*cos α i)/(R*sin θ ab-ra*sin α i)=0
.......................(3-2-35)
Qa 点与 Oa 点的距离为:
R(QaOa)=R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i
.......................(3-2-36)
xaqa 的坐标为:
xaqa=-R(QaOa)
=-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i
.......................(3-2-37)
3 、 Qa 点与 Ob 点连线的方向角
设: Qa 点与 Ob 点连线的方向角为γ 0 , Ob 点在 xayaza 坐标系中的坐标为 (xaob,yaob,zaob) ,有:
cos γ 0=(yaob-yaqa)/(xa0b-xaqa)
由于: xaob=R*cos θ 1
yaob=R*sin θ 1
zaob=0
所以: cos γ 0=(yaob-yaqa)/(xa0b-xaqa)
=R*sin θ 1/[R*cos θ 1+R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]
=sin θ 1/[cos θ 1+R1/R*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]
γ 0=arccos{in θ 1/[cos θ 1+R1/R*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]}
.......................(3-2-38)
4、 Qa 、 Q 点连线与 Qa 、 Ob 连线间的夹角
设: Qa 、 Q 点连线与 Qa 、 Ob 点连线间的夹角为γ 1 , Q 点在 xayaza 坐标系中的坐标为 (xaq,yaq,zaq)
由于:
xaq=rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1
yaq=rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1
zaq=rb*cos Φ b
Qa 、 Q 点间的距离: Rqaq=[(xaq-xaqa)2+(yaq-yaqa)2+(zaq-zaqa)2]1/2
=[(xaq-xaqa)2+(yaq-yaqa)2+(zaq-zaqa)2]1/2
={[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2}1/2
Qa 、 Ob 点间的距离: Rqaob=[(xaob-xaqa)2+(yaob-yaqa)2]1/2
=[(xaob-xaqa)2+(yaob-yaqa)2]1/2
={[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2}1/2
Q 、 Ob 点间的距离: Rqob=rb
Rqob2=Rqaq2+Rqaob2-2*Rqaq*Rqaob*cos γ
所以:
cos γ 1=[Rqaq2+Rqaob2-Rqob2]/(2*Rqaq*Rqaob)
={[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2+[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2-rb2}/{4*{[rb*sinΦ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2}*{[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2}}1/2
.......................(3-2-39)
γ 1=arccos{{[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2+[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2-rb2}/{4*{[rb*sinΦ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2}*{[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2}}1/2 }
.......................(3-2-40)
5、 Qa 、 Ob 点连线与 Q 、 Ob 连线间的夹角
设: Qa 、 Ob 点连线与 Q 、 Ob 连线间的夹角为γ 2 ,有:
sin γ 2=Rqaq/Rqob*sin γ 1
=[(xaq-xaqa)2+(yaq-yaqa)2+(zaq-zaqa)2]1/2/rb*sin γ 1
={[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2}1/2/rb*sin γ 1
γ 2=arcsin{{[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2}1/2/rb*sin γ 1 }
.......................(3-2-41)
6 、 A 球体抛射的力物质或反力物质在 B 球体表面 Q 点 ds 面积上的特征参数面密度
设: A 球体抛射的力物质或反力物质在 B 球体表面 Q 点 ds 面积上的特征参数面密度为δ a( γ 2) ,有:
δ a( γ 2)*ds= δ a*ds1
δ a( γ 2)= δ a*ds1/ds
=- δ a*cos( γ 1+ γ 2)
.......................(3-2-42)
7 、 B 球体 Q 点抛射力物质或反力物质的特征参数面密度
设: B 球体在γ 0 方向上的运动速度分量为 B( γ 0) , B 球体的运动方向与γ 0 方向的夹角为γ,有:
γ = π + γ 0- θ 2
B( γ 0)=Bb*cos γ
=-Bb*cos( γ 0- θ 2)
.......................(3-2-43)
B 球体 Q 点以等效速度 B0 抛射力物质或反力物质的特征参数面密度δ b( γ 0) 为:
δ b( γ 0)*B0= δ b0*[B0+B( γ 0)]
δ b( γ 0)= δ b0*[1+B( γ 0)/B0]
= δ b0*[1-Bb/B0*cos( γ 0- θ 2)]
.......................(3-2-44)
8 、 B 球体 Q 点 ds 面积在γ (0) 方向上的特征参数流量变化量为:
d Ξ (+)= δ a( γ 0)* δ b( γ 0)*B0*cos( γ 1)*ds
=- δ b0*[1-Bb/B0*cos( γ 0- θ 2)]* δ a*cos( γ 1+ γ 2)*B0*cos( γ 1)*ds
.......................(3-2-45 )
由于: ds=rb2*d Φ b*d Ψ b
有: d Ξ (+)=- δ b0*[1-Bb/B0*cos( γ 0- θ 2)]* δ a*cos( γ 1+ γ 2)*B0*cos( γ 1)*rb2*d Φ b*d Ψ b
.......................(3-2-46)
9 、积分域
当 Qa 点与 Q 点的连线与 B 球体相切时 ,Q 点即为积分域的边界。
当 Qa 点与 Q 点的连线与 B 球体相切时 ,Qa 、 Q 、 Ob 点构成的三角形为直角三角形,有:
Rqaq2+rb2=Rqaob2
[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2+rb2=[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2
rb2*sin2Φ b*cos2Ψ b+2*rb*R*cos θ 1*sin Φ b*cos Ψ b-2*rb*R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i*sin Φ b*cos Ψ b+rb2*sin2Φ b*sin2Ψ b+2*R*rb*sin θ 1*sin Φ b*sin Ψ b+rb2*cos2Φ b+rb2 =0
.......................(3-2-47)
10 、 B 球体在 QaOb 方向上抛射力物质或反力物质的特征参数流量变化量
Ξ (+)=- ∫∫Ωδ b0*[1-Bb/B0*cos( γ 0- θ 2)]* δ a*cos( γ 1+ γ 2)*B0*cos( γ 1)*rb2*d Φ b*d Ψ b
由( 3-2-47 )、 (3-2-38) 、 (3-2-40) 、 (3-2-41) 、 (3-2-33 )式组成方程组,有:
Ξ (+)=- ∫∫ΩΞ b0* Ξ a0/(16* π 2*R12*B0)/cos( α i- α 1i)*(1+Ba2/B02+2*Ba/B0*cos α i)1/2*sin2α i/sin2θ ab*[1-Bb/B0*cos( γ 0- θ 2)]*cos( γ 1+ γ 2)*cos( γ 1)*d Φ b*d Ψ b
γ 0=arccos{in θ 1/[cos θ 1+R1/R*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]}
γ 1=arccos{{[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2 +[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2-rb2}/{4*{[rb*sinΦ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2}*{[R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(R*sin θ 1)2}}1/2}
γ 2=arcsin{{[rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1-R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i]2+(rb*sin Φ b*sin Ψ b+R*sin θ 1)2+(rb*cos Φ b)2}1/2/rb*sin γ 1}
θ ab=arccos[xa(Q)/R1]
[Ba/B0*sin θ ab-sin( θ ab- α 1i)]/sin α 1i+ra*(cos θ ab-cos α i)/(R1-ra)=0
(Ba/B0-cos α 1i)/sin α 1i+(R1*cos θ ab-ra*cos α i)/(R1*sin θ ab-ra*sin α i)=0
R1=(rb2+R2+2*rb*R*sin Φ b*cos Ψ b*cos θ 1+2*rb*Rsin Φ b*sin Ψ b*sin θ 1)1/2
xa(Q)=rb*sin Φ b*cos Ψ b+R*cos θ 1
.......................(3-2-48)
(3-2-48) 式的积分域由下列方程式决定,该方程要与( 3-2-48 )式联解
rb2*sin2Φ b*cos2Ψ b+2*rb*R*cos θ 1*sin Φ b*cos Ψ b-2*rb*R1*sin( θ ab- α 1i)/sin α 1i*sin Φ b*cos Ψ b+rb2*sin2Φ b*sin2Ψ b+2*R*rb*sin θ 1*sin Φ b*sin Ψ b+rb2*cos2Φ b+rb2=0
.......................(3-2-49)
11 、两个球体在一个平面内运动时特征参数流量变化量与加速度的关系
空间运动球体合加速度的方向就是该球体抛射力物质或反力物质的特征参数流量变化量的方向。显然,当合加速度的方向与球体的运动方向重合时,球体作直线运动;当合加速度的方向与球体的运动方向不相重合时,球体作曲线运动;作曲线运动的球体,在非合加速度的方向都存在加速度,该加速度是合加速度的分量。
设: B 球体在 QaOb 方向上的合加速度为 gb ,有:
ma*gb= Ξ (+)
gb= Ξ (+)/ma
.......................(3-2-50)