（三） 用绝对参照系的观点和经典物理学理论推导地球轨道加速度

　　按照惯性参照系的观点，地球对太阳的角度量与时间量的一阶偏导数为 B1/R ，二阶偏导数为零。但是，当地球轨道加速度具有力学上的意义时，物理学的参照系首先是一个绝对参照系，而地球绕日运动轨道是建立在以太阳为原点的独立坐标系内，独立坐标系是一个运动坐标系，故地球在绝对坐标系内的运动轨迹是一条可表达的数学曲线，根据经典物理学的合速度原则，地球的运动速度是独立坐标系中的轨迹运动速度和独立坐标系自身运动速度的合速度，合速度的方向是绝对坐标系中数学曲线的切线方向，而不是独立坐标系中曲线的切线方向。

　　地球与太阳之间存在着作用力，两者之间都存在着对向加速度。由于运动与空间距离，地球与太阳之间的相互作用力方向不在两者的球心连线方向上，因而，加速度方向也不在两者的球心连线上，这正是空间球体旋转的原因。同时，空间运动的地球与太阳相互间的加速度与作用力保持着一个数学函数关系，故地球在绝对坐标系中的运动速度不是常数，在独立坐标系中的运动速度也不是常数，地球的旋转量也不是常数。

　　设想以下物理实验：用一条弹性线拴一个球，站在地面上让球在空中作等周期旋转运动。求证：（ 1 ）球的运动状态。（ 2 ）当线断的时候球的运动状态。

　　惯性参照系的解释是：（ 1 ）不同方向线受到球的拉力相等，球作匀速园周运动。（ 2 ）球沿切线方向飞出。

　　绝对参照系的解释是：（ 1 ）不同方向线受到球的拉力不相等，球作非等速椭园运动。（ 2 ）球作椭园运动的坐标系是一个独立坐标系，在绝对坐标系中，独立坐标系是一个运动坐标系，故球在绝对坐标系中的运动轨迹是一条可表达的数学曲线，根据经典物理学的合速度原则，飞球速度是独立坐标系中球的切线运动速度和独立坐标系自身运动速度的合速度，飞球方向是合速度的方向。

　　上述不同的物理解释产生了不同的数学结果，即切线方向上的飞球与非切线方向上的飞球两者的方向角不相同。

　　上述两种解释都正确，即：惯性参照系的解释前提是观测者就站在惯性参照系中，而绝对参照系的解释前提是观测者就站在绝对参照系中。

　　上述两种解释也说明：物理学的参照系首先是力学的参照系，力学的参照系是绝对参照系，因此，物理学的参照系是一个绝对参照系。但是，物理学中的运动学在特定的情况下可以不考虑力学因素，因而，惯性参照系不仅不会因为绝对参照系的应用而消失，而且会更明确、更完善。

　　用绝对参照系的观点和经典物理学理论推导地球轨道加速度的数学过程

　　以太阳中心的运动方向为 x 轴建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，地球相对太阳的运动方向为顺时针方向；在直角坐标系中，地球的运动轨迹分为独立坐标系中的运动轨迹和绝对坐标系中的运动轨迹。当独立坐标系静止时，地球的运动轨迹是一个椭园。当独立坐标系的原点作为绝对坐标系中的曲线时，独立坐标系是一个运动的坐标系，地球在绝对坐标系中的运动轨迹是一条可表述的数学曲线。

　　设：在绝对坐标系中，同一时间，地球的坐标为 (xd,yd) ，太阳的坐标为 (xt,yt); 由于太阳的作用地球产生的轨道加速度为 g ，方向角为α，加速度 g 在 x 、 y 方向上的分量分别为 gx 、 gy ，太阳的运动速度为 B2 ；在独立坐标系中，地球的运动速度为 B1 ，运动速度的方向角为β

　　在绝对坐标系中，近似认为太阳以 B2 的速度作直线运动，近似认为地球对太阳不产生加速度，太阳对地球产生轨道加速度。设： t=t0 时，太阳在绝对坐标系中的位置为 T1 点，坐标为 [xt(t0),0] ，地球在绝对坐标系中的位置为 Q 点，坐标为 [xd(t0),yd(t0)] ，运动速度为 B1(t0) ，运动速度的方向角为β (t0) ，加速度为 g(t0) ，加速度的方向角为α (t0) ； t=t0+dt 时，太阳在绝对坐标系中的位置为 T2 点，坐标为 [xt(t0+dt),0] ，地球在绝对坐标系中的位置为 Q1 点，坐标为 [xd(t0+dt),yd(t0+dt)] ，运动速度为 B1(t0+dt) ，运动速度的方向角为β (t0+dt) ，加速度为 g(t0+dt) ，加速度的方向角为α (t0+dt)

　　通过Ｑ点作方向角为α (t0) 的直线，该直线与 x 轴交点为 Ti ，交点坐标为 [xt(ti),0] ；通过Ｑ 1 点作方向角为α (t0+dt) 的直线，该直线与 x 轴交点为 Ti1 ，交点坐标为 [xt(ti+dt),0] ，有：

　　 xt(ti)=xt(t0)-B2*[(xd-xt)² +yd²]^1/2 /B0

　　 xt(ti+dt)=xt(t0+dt)-B2*[(xd-xt)²+yd²]^1/2 /B0

　　 .......................(4-3-7)

　　 tg[ α (t0)]=[yd(ti)-yt(ti)]/[xd(ti)-xt(ti)]

=yd(ti)/[xd(ti)-xt(ti)]

　　α (t0) ＝ arctg{yd(ti)/[xd(ti)-xt(ti)]}

　　 .......................(4-3-8)

　　 gx(t0)=g(t0)*cos[ α (t0)]

　　 gy(t0)=g(t0)*sin[ α (t0)]

　　 g(t0)=(gx²+gy² )^1/2

　　∵ :gx(t0)=d ²xd(t0)/dt²

　　 gy(t0)=d²yd(t0)/dt²

　　∴ :g(t0)={[d²xd(t0)/dt²]² +[d ²yd(t0)/dt²]² }^1/2

　　∵ :d²xd(t0)/dt²=dBx(t0)/dt

　　 d ²yd(t0)/dt² =dBy(t0)/dt

　　∴ :g(t0)={[dBx(t0)/dt]² +[dBy(t0)/dt]² }^1/2

　　 .......................(4-3-9)

　　 tg β (t0)=dyd(t0)/dxd(t0)

　　β =arctg[dyd(t0)/dxd(t0)]

　　 .......................(4-3-10)

　　如果地球没有指向太阳的加速度，地球在 Q 点的运动速度就应该是 B1(t0) 、 B2 的合速度 B(t0) ，运动方向为合速度的方向，设：合速度的方向角为γ，有：

　　 B(t0)=[B1(t0)² +B2² -2*B1(t0)*B2*cos( π - β )]^1/2

=[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2

　　 .......................(4-3-11)

　　γ角的数学关系为：

　　 sin( β - γ )/B2=sin γ /B1(t0)

　　 (sin β *cos γ -cos β *sin γ )/B2=sin γ /B1(t0)

　　 (sin β -cos β *tg γ )/B2=tg γ /B1(t0)

　　 [1+B1(t0)/B2*cos β ]*tg γ =B1(t0)/B2*sin β

　　 tg γ =B1(t0)/B2*sin β /[1+B1(t0)/B2*cos β ]

=B1(t0)*sin β /[B2+B1(t0)*cos β ]

　　γ =arctg{B1(t0)*sin β /[B2+B1(t0)*cos β ]}

　　 .......................(4-3-12)

　　当： Bx(t0)=B(t0)*cos γ， By(t0)=B(t0)*sin γ时，有：

　　 dBx/dt=cos γ *dB(t0)/dt-sin γ *B(t0)*d γ /dt

　　 dBy/dt=sin γ *dB(t0)/dt+cos γ *B(t0)*d γ /dt

　　 .......................(4-3-13)

　　由（ 4-3-9 ）式知：

　　 g(t0)=[(dBx/dt)² +(dBy/dt)² ]^1/2

={[cos γ *dB(t0)/dt-sin γ *B(t0)*d γ /dt]² +[sin γ *dB(t0)/dt+cos γ *B(t0)

*d γ /dt]^1/2 } ^1/2

={[dB(t0)/dt]² +[B(t0)*d γ /dt]² }^1/2

　　 .......................(4-3-14)

　　求解 dB(t0)/dt

　　 dB(Q)/dt=d{[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2 }

=-B1(t0)*B2*sin β /[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ] ^1/2*d β /dt

+[B1(t0)+B2*cos β ]/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2*dB1(t0)/dt

　　 .......................(4-3-15)

　　 d γ /dt 的偏微分关系为：

　　由 (4-3-12) 式知：

　　 d γ /dt=d{arctg{B1(t0)*sin β /[B2+B1(t0)*cos β ]}}/dt

={B1(t0)*cos β /[B2+B1(t0)*cos β ]+B1(t0)²*sin²β /[B2+B1(t0)*cos β ]² }

/{1+B1(t0)²*sin²β /[B2+B1(t0)*cos β ]² } *dβ /dt+{sin β /[B2+B1(t0)*cos β ]

-B1(t0)*sin β *cos β /[B2+B1(t0)*cos β ]² }

/{1+B1(t0)² *sin²β /[B2+B1(t0)*cos β ]² } *dB1(t0)/dt

={B1(t0)*cos β *[B2+B1(t0)*cos β )+B1(t0)²*sin²β ]}/{[B2+B1(t0)*cos β ]²

+B1(t0)² *sin²β } *dβ /dt+{sin β *[B2+B1(t0)*cos β ]-B1(t0)*sin β *cos β }

/{[B2+B1(t0)*cos β ]² +B1(t0)² *sin²β } * dB1(t0)/dt

=[B1(t0)*B2*cos β +B1(t0)² ]/[B2² +B1(t0) 2 +2*B1(t0)*B2*cos β ]*d β /dt

+sin β *B2/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]*dB1(t0)/dt

　　.......................( 4-3-16 )

　　 (4-3-15) 、 (4-3-16) 式代入 (4-3-14) 式中，有：

　　 g={{B1(t0)*B2*sin β /[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2 *d β /dt

+[B1(t0)+B2*cos β ]/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2 *dB1(t0)/dt } ²

+B(t0)² *{[B1(t0)*B2*cos β +B1(t0)² ]/[B2² +B1(t0)² +2*B1(t0)*B2*cos β ]*d β /dt

+sin β *B2/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]*dB1(t0)/dt }² } ^1/2

={B1(t0)² *B2² *sin²β /[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]*(d β /dt)²

+[B1(t0)+B2*cos β ]² /[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]*[dB1(t0)/dt]²

+2*B1(t0)*B2*sin β *[B1(t0)+B2*cos β ]/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]

*d β /dt*dB1(t0)/dt+[B1(t0)*B2*cos β +B1(t0)² ]² /[B2² +B1(t0)² +2*B1(t0)*B2

*cos β ]*(d β /dt)² +sin²β *B2² /[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]*[dB1(t0)/dt]²

+2*[B1(t0)*B2*cos β +B1(t0)² ]*sin β *B2/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]

*d β /dt*dB1(t0)/dt} ^1/2

=1/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2 *{B1(t0)² *B2² *sin²β *(d β /dt)²

+[B1(t0)*B2*cos β +B1(t0)² ]² *(d β /dt)²

+[B1(t0)+B2*cos β ]² *[dB1(t0)/dt]² +sin²β *B2² *[dB1(t0)/dt]²

+2*B1(t0)*B2*sin β *[B1(t0)+B2*cos β ]*d β /dt*dB1(t0)/dt

+2*[B1(t0)*B2*cos β +B1(t0)² ]*sin β *B2*d β /dt*dB1(t0)/dt }^1/2

=1/[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2 *{[B1(t0)² *B2² +B1(t0)⁴

+2*B1(t0)³ *B2*cos β ]*(d β /dt)² +[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]*[dB1(t0)/dt]²

+4*[B1(t0)²*B2*sin β +B1(t0)*B2² *sin β *cos β ]*d β /dt*dB1(t0)/dt }^1/2

=B1(t0)*B2/B(t0)*{1+B1(t0)/B2² +2*B1(t0)/B2*cos β

+[1/B1(t0)² +1/B2² +2/B1(t0)/B2*cos β ]*[dB1(t0)/d β ]²

+4*[1/B2*sin β +1/B1(t0)*sin β *cos β ]*dB1(t0)/d β } ^1/2 *d β /dt

　　 .......................(4-3-17)

　　假设地球在Ｑ点没有受到太阳的作用，地球在Ｑ点也就不会有轨道加速度，地球将沿着γ方向运动，设： dt 时间内运动到 Q2 点，Ｑ点与Ｑ 2 点间的距离为 s1 ， Q1 点与 Q 点间的距离为 s2 ， Q1 点与 Q2 点间的距离为 s3, 有：

　　 s1=B(t0)*dt

=[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2 *dt

　　 .......................(4-3-18)

　　在已经定义的Ｑ、 Q1 、 Ti 、 Ti1 四个点中，设： t=t0 时 Q 点与 Ti 点的连线长度为 R( α ) ，Ｑ、 Ti 点连线与 Q1 、 Ti1 点连线的交点为 Q3 ， Q3 点与 Ti 点的连线长度为 r( α )

　　在三角形 Q3QQ2 中，∠ Q3QQ2 ＝π - γ + α (t0) ；∠ QQ3Q2 ＝ d α，有：

　　 s1/d α =[R( α )-r( α )]/sin[ γ - α (t0)]

　　 s1=[R( α )-r( α )]/sin[ γ - α (t0)]*d α

　　 .......................(4-3-19)

　　在三角形 Q3TiTi1 中，∠ TiTi1Q3 ＝π - α (t0)-d α；∠ TiQ3Ti1 ＝ d α，有：

　　 [xt(t0+dt)-xt(t0)]/d α =r( α )/sin α (t0)

　　∵ :[xt(t0+dt)-xt(t0)]=B2*dt

　　∴ :r( α )=B2*sin α (t0)*dt/d α

　　 .......................(4-3-20)

　　 (4-3-20) 式代入 (4-3-19) 式中，有 :

　　 s1=[R( α )-B2*sin α (t0)*dt/d α ]/sin[ γ + α (t0)]*d α

=[R( α )*d α -B2*sin α (t0)*dt]/sin[ γ + α (t0)

　　∵ :s1=B(t0)*dt

　　∴ :B(t0)*sin[ γ + α (t0)]*dt=R( α )*d α -B2*sin[ α (t0)]*dt

　　 R( α )*d α /dt=B(t0)*sin[ γ + α (t0)]+B2*sin[ α (t0)]

　　 d α /dt={ B(t0)*sin[ γ + α (t0)]+B2*sin α (t0) }/R( α )

={[B1(t0)² +B2² +2*B1(t0)*B2*cos β ]^1/2 *sin[ γ + α (t0)]+B2*sin α (t0)}/R( α )

=B(t0)*{sin[ γ + α (t0)]+B2/B(t0)*sin α (t0) }/R( α )

　　 .......................(4-3-21)

　　令： d γ /dt=f*d α /dt ， (4-3-16) 式为：

　　 g(t0)=B1(t0)*B2/B(t0)*{1+B1(t0)/B2^２ +2*B1(t0)/B2*cos β

+[1/B1(t0)^２ +1/B2^２ +2/B1(t0)/B2*cos β ]*[dB1(t0)/d β ]^２

+4*[1/B2*sin β +1/B1(t0)*sin β *cos β ]*dB1(t0)/d β } ^1/2 *f*d α /dt

=f*B1(t0)*B2/R( α )*{sin[ γ + α (t0)]+B2/B(t0)*sin α (t0) }*{1+B1(t0)/B2²

+2*B1(t0)/B2*cos β +[1/B1(t0)² +1/B2² +2/B1(t0)/B2*cos β ]*[dB1(t0)/d β ]²

+4*[1/B2*sin β +1/B1(t0)*sin β *cos β ]*dB1(t0)/d β } ^1/2

　　 .......................(4-3-22)