(四) 近似求解地球轨道加速度及太阳系内行星轨道加速度
假设地球轨道长轴与太阳运动方向重合时，地球轨道加速度的数学关系
根据开普勒第一定律，行星围绕太阳运动的轨迹为椭园，太阳在椭园的一个焦点上。设：地球围绕太阳运动的轨迹为一个标准椭园。建立一个独立坐标系，椭园长轴在 x 轴上，太阳在椭园的一个焦点上，椭园中心在独立坐标系的原点上，当地球在轨道上的坐标为 (x,y) 时，椭园方程为：
x=a*cos Φ
y=b*sin Φ
c2 =a2 -b2
e=c/a
μ =b/a
.......................(4-3-23)
(x,y) 到太阳中心的距离为：
r( α )=a-e*x
=a*(1-e*cos Φ )
.......................(4-3-24)
根据开普勒第二定律，地球的向径 r( α ) 在相同的时间内扫过的面积相同。同理，地球的向径单位时间扫过的面积为常数。设： dt 时间地球扫过的面积为 d σ，地球的公转周期为Ｔ，有：
d σ =1/2*r( α )*B1( α )*dt
d σ /dt=1/2*r( α )*B1( α )
=1/2*a*(1-e*cos Φ )*B1( α )
由于 d σ /dt 为常数，椭园面积为π *a*b ，近似取： d σ /dt= π *a*b/T ，有：
1/2*r( α )*B1( α ) ＝π *a*b/T
B1( α )=2* π *a*b/[T*r( α )]
=2* π *a*b/T/[a*(1-e*cos Φ )]
=2* π *b/T/(1-e*cos Φ )
.......................(4-3-25)
在绝对坐标系中，太阳的运动方程为：
xt=B2*t+c
yt=0
.......................(4-3-26)
在绝对坐标系中，地球的运动方程为：
xd=xt+x
=B2*t+c+a*cos Φ
yd=b*sin Φ
.......................(4-3-27)
地球相对于太阳的方向角α的数学关系为：
tg α =(yd-yt)/(xd-xt)
=b*sin Φ /(a*cos Φ )
= μ *tg Φ
α =arctg( μ *tg Φ )
.......................(4-3-28)
由于：
β =arctg(dyd/dxd)
∵： dyd=-b*cos Φ
dxd=a*sin Φ
∴：β =arctg(- μ *ctg Φ )
=-arctg( μ *ctg Φ )
.......................(4-3-29)
d α /d Φ的偏微分关系：
d α = μ /cos2Φ /(1+ μ2 *tg2Φ )*d Φ
d α /d Φ = μ /cos2Φ /(1+ μ2 *tg2Φ )
= μ /(1-e2 *sin2Φ )
.......................(4-3-30)
d β /d Φ的偏微分关系：
d β = μ /sin2Φ /(1+ μ2 *ctg2Φ )*d Φ
d β /d Φ = μ /sin2Φ /(1+ μ2 *ctg2Φ )
= μ /(sin2Φ + μ2 *cos2Φ )
= μ /(1-e2*cos2Φ )
.......................(4-3-31)
由于： f1=d β /d α，有：
f1=(d β /d Φ )/(d α /d Φ )
= μ /(1-e2*cos2Φ )/[ μ /(1-e2*sin2Φ )]
=(1-e2 *sin2Φ )/(1-e2 *cos2Φ )
.......................(4-3-32)
dB1( α )/d Φ的偏微分关系：
由于： B1( α )=2* π *b/T/(1-e*cos Φ ) ，有：
dB1( α )=-2* π *b*e*sin Φ /T/(1-e*cos Φ )2 *d Φ
dB1( α )/d Φ =-2* π *b*e*sin Φ /T/(1-e*cos Φ )2
.......................(4-3-33)
由于： f2=dB1( α )/d β，有：
f2=[dB1( α )/d Φ ]/(d β /d Φ )
=-2* π *b*e*sin Φ /T/(1-e*cos Φ )2 /[ μ /(1-e2 *cos2Φ )]
=-2* π *b*e/ μ /T*sin Φ *(1-e2 *cos2Φ )/(1-e*cos Φ )2
.......................(4-3-34)
由上述推导过程得：
g=f1*B1( α )*B2/r( α )*{1+B1( α )/B22 +2*B1( α )/B2*cos β +
[1/B1( α )2 +1/B22 +2/B1( α )/B2*cos β ]*f22 +4*sin β *[1/B2+1/B1( α )*cos β ]*f2 }1/2
r( α )=a*(1-e*cos Φ )
B1( α )=2* π *b/T/(1-e*cos Φ )
f1=(1-e2 *sin2Φ )/(1-e2 *cos2Φ )
f2=-2* π *c/T*sin Φ *(1-e2 *cos2Φ )/(1-e*cos Φ )2
α =arctg( μ *tg Φ )
β =-arctg( μ *ctg Φ )
γ =arctg{B1( α )*sin β /[B2+B1( α )*cos β ]}
.......................(4-3-35)
地球轨道加速度公式的应用问题：
（ 1 ） g ＝ f1*B1( α )*B2/r( α )*{sin[ γ + α (t0)]+B2/B(t0)*sin α (t0)}
*{1+B1( α )/B22 +2*B1( α )/B2*cos β +[1/B1( α )2 +1/B22 +2/B1( α )/B2*cos β ]
*f22 +4*sin β *[1/B2+1/B1( α )*cos β ]*f2 }1/2 是地球轨道加速度计算的基本公式，也是所有围绕中心星运动的星体进行轨道加速度计算的基本公式。
（ 2 ）当认为星体围绕中心星运动的轨道为椭园，椭园的长轴与中心星运动方向相同时，基本公式的参数为：
r( α )=a*(1-e*cos Φ ) ， B1( α )=2* π *b/T/(1-e*cos Φ ) ， f1=(1-e2 *sin2Φ )/(1-e2*cos2Φ ) ，
f2=-2* π *c/T*sin Φ *(1-e2 *cos2Φ )/(1-e*cos Φ )2 ，α =arctg( μ *tg Φ ) ，
β
=-arctg( μ *ctg Φ ) ，γ =arctg{B1( α )*sin β /[B2+B1( α )*cos β ]}按上述参数，计算太阳系内行星轨道加速度的平均值为：
水星 轨道长半径 5790 万 km 偏心率 0.206 周期 87.969 日
轨道加速度 0.3350383( 00 ) 0.1452248( 1800 ) 0.240127( 平均值 )
金星 轨道平均半径 0.723 天文单位 偏心率 0.007 周期 224.7 日
轨道加速度 0.08178403( 00 ) 0.07950966( 1800 ) 0.080647( 平均值 )
地球 轨道长半径 149597870km 偏心率 0.0167 周期 365.25636 日
轨道加速度 0.05130527( 00 ) 0.04798734( 1800 ) 0.049646( 平均值 )
火星 轨道长半径 1.524 天文单位 偏心率 0.093 周期 约 687 日
轨道加速度 0.03219483( 00 ) 0.02216973( 1800 ) 0.027182( 平均值 )
木星 轨道长半径 5.2 天文单位 偏心率 0.048 周期 11.86 年
轨道加速度 0.004619721( 00 ) 0.003812124( 1800 ) 0.0042159( 平均值 )
土星 轨道长半径 14 亿公里 偏心率 0.055 周期 29.5 年
轨道加速度 0.001889939( 00 ) 0.001512879( 1800 ) 0.0017014( 平均值 )
天王星 轨道长半径 2.9*10 9 km 偏心率 0.05 周期 84 年
轨道加速度 0.0006550741( 00 ) 0.0005362398( 1800 ) 0.00059566( 平均值 )
海王星 轨道长半径 30 天文单位 偏心率 0.01 周期 164.8 年
轨道加速度 0.0003070913( 00 ) 0.0002950497( 1800 ) 0.00030107( 平均值 )
冥王星 近日点 29.8 天文单位 偏心率 ( 缺 ) 取 0.01 周期 248 年 g ≈ 1.99845*10-4
上述行星轨道加速度计算属近似计算，主要误差来源为：（ 1 ）行星轨道椭园轴与太阳的运动方向不会重合，上述计算以椭园轴与太阳的运动方向重合作为数学条件，数据计算存在着系统误差。（ 2 ）以开普勒第二定律进行 B1( α ) 的数学变换，缺少数学关系的严密性，也会给数据计算带来系统误差。（３）近似认为： sin[ γ + α (t0)]+B2/B(t0)*sin α (t0)=1 ，也带来了误差。
严格的行星轨道加速度计算应根据天文观测数据进行平差拟合。